Институт Элиава был основан в 1923 году выдающимся грузинским врачом, бактериологом и исследователем фагов профессором Георгием Элиава. Исключительную роль в развитии института сыграл знаменитый франко-канадский учёный Феликс Д’Эрелль, который первым открыл бактериофаги. Эти учёные совместно выдвинули идею создания Всемирного центра исследований фагов и фаговой терапии в Тбилиси, Грузия. К сожалению, это было время сталинского террора. В 1937 году Элиава был расстрелян вместе со своими современниками, а Д’Эрелль так и не вернулся в Грузию.
За свою долгую историю Институт Элиава был известен под несколькими уважаемыми названиями. Самым известным было Научно-производственное объединение (НПО) «Бактериофаг». Оно включало две основные части: Научно-исследовательский институт и промышленный отдел, последний состоял из десяти производственных подразделений. Всего в НПО «Бактериофаг» работало около 800 человек, из которых 120 занимались научными исследованиями. После распада Советского Союза промышленный отдел был частично приватизирован. В советский период Институт Элиава играл важную роль в разработке новых биологических препаратов и производстве средств против практически всех основных бактериальных и вирусных заболеваний, таких как сибирская язва, бешенство, туберкулёз, бруцеллёз, сальмонеллёз, дизентерия и др.
Многие годы Eliava IBMV является ведущей организацией в области исследований бактериофагов, производства фаговых препаратов и их практического применения.